Tuesday, October 21, 2014

GARIS SINGGUNG

Garis Singgung Persekutuan Dalam


Garis Singgung Persekutuan Dalam
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari R dan r.  Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q. Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:
CQ^2 = p^2 - PC^2
CQ = \sqrt {p^2 - PC^2}
CQ = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}
karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:
q = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}
Keterangan:
q = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Garis Singgung Persekutuan Luar


Garis Singgung Persekutuan Luar
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r dan R.  Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR siku-siku di R, dengan pythagoras maka:
PR^2 = p^2 - QR^2
PR = \sqrt {p^2 - (R - r)}^2
PR = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}
Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah
l = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}
Keterangan:
l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga, kita harus mengetahui rumus luas segitiga sebarang. Jika panjang sisi-sisi segitiga adalah a, b, c, dan s = 1/2 keliling segitiga tersebut, maka rumus luas segitiga sebarang adalah:


Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar! OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga. Jika OP = OQ = OR = rd, BC = a, AC = b, dan AB = c, maka:
Luas ΔABC = Luas ΔOBC + Luas ΔOAC + Luas ΔOAB
Luas ΔABC = ( 1/2 × BC × OP) + (1/2 × AC × OQ ) + (1/2 × AB × OR)
Luas ΔABC = ( 1/2 × a × rd) + (1/2 × b × rd) + (1/2 × c × rd)
Luas ΔABC = 1/2 × rd × (a + b + c) = rd × 1/2 × (a + b + c)
Luas ΔABC = rd × 1/2 × keliling ΔABC
Jika 1/2 × keliling ΔABC = s, maka:
Luas segitiga = rd × s
rd=Luas segitiga/s
Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:

Panjang Jari-jari Lingkaran Luar


Selanjutnya, perhatikan gambar di samping. Lingkaran yang terbentuk pada gambar adalah lingkaran luar ΔABC yang berpusat di titik O. OA dan OQ adalah jari-jari lingkaran luar. Misalkan OA = OQ = rl, BC = a, AC = b, dan AB = c. Perhatikan ΔAQB dan ΔACP! Besar ∠ABQ (sudut keliling yang menghadap busur AQ dan menghadap diameter lingkaran) = 90° = ∠APC (karena AP adalah garis tinggi ΔACP, maka AP⊥BC). Besar ∠AQB = ∠ACP karena sudut keliling menghadap busur yang sama). (Materi bahasan sudut keliling akan dibahas pada subbab berikutnya). Karena terdapat dua buah sudut yang bersesuaian sama besar, maka ΔAQB dan ΔACP sebangun (bentuknya sama, tetapi ukurannya berbeda). Sehingga dapat ditulis secara matematis dalam bentuk berikut.
AQ/AC =AB/AP
AQ =AB × AC/AP (kalikan pembilang dan penyebut dengan BC)
2rl= (BC × AB × AC)/(BC × AP)
2rl= (BC × AB × AC)/ (2 × 1/2 × BC × AP)
2rl = (BC × AB × AC)/(2 × Luas ΔABC)
rl= (a × b × c)/4 × Luas Δ ABC
Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:

 

Langganan: Entri (Atom)

Garis Singgung Matematika Kelas 8

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Pada dua buah lingkaran, terdapat garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran tersebut, kita dapat menggunakan teorema pythagoras. Coba perhatikan berikut ini:

Garis Singgung Persekutuan Dalam


Garis Singgung Persekutuan Dalam
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari R dan r.  Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q. Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:
CQ^2 = p^2 - PC^2
CQ = \sqrt {p^2 - PC^2}
CQ = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}
karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:
q = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}
Keterangan:
q = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Garis Singgung Persekutuan Luar


Garis Singgung Persekutuan Luar
Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r dan R.  Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR siku-siku di R, dengan pythagoras maka:
PR^2 = p^2 - QR^2
PR = \sqrt {p^2 - (R - r)}^2
PR = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}
Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah
l = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}
Keterangan:
l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga, kita harus mengetahui rumus luas segitiga sebarang. Jika panjang sisi-sisi segitiga adalah a, b, c, dan s = 1/2 keliling segitiga tersebut, maka rumus luas segitiga sebarang adalah:


Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar! OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga. Jika OP = OQ = OR = rd, BC = a, AC = b, dan AB = c, maka:
Luas ΔABC = Luas ΔOBC + Luas ΔOAC + Luas ΔOAB
Luas ΔABC = ( 1/2 × BC × OP) + (1/2 × AC × OQ ) + (1/2 × AB × OR)
Luas ΔABC = ( 1/2 × a × rd) + (1/2 × b × rd) + (1/2 × c × rd)
Luas ΔABC = 1/2 × rd × (a + b + c) = rd × 1/2 × (a + b + c)
Luas ΔABC = rd × 1/2 × keliling ΔABC
Jika 1/2 × keliling ΔABC = s, maka:
Luas segitiga = rd × s
rd=Luas segitiga/s
Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:

Panjang Jari-jari Lingkaran Luar


Selanjutnya, perhatikan gambar di samping. Lingkaran yang terbentuk pada gambar adalah lingkaran luar ΔABC yang berpusat di titik O. OA dan OQ adalah jari-jari lingkaran luar. Misalkan OA = OQ = rl, BC = a, AC = b, dan AB = c. Perhatikan ΔAQB dan ΔACP! Besar ∠ABQ (sudut keliling yang menghadap busur AQ dan menghadap diameter lingkaran) = 90° = ∠APC (karena AP adalah garis tinggi ΔACP, maka AP⊥BC). Besar ∠AQB = ∠ACP karena sudut keliling menghadap busur yang sama). (Materi bahasan sudut keliling akan dibahas pada subbab berikutnya). Karena terdapat dua buah sudut yang bersesuaian sama besar, maka ΔAQB dan ΔACP sebangun (bentuknya sama, tetapi ukurannya berbeda). Sehingga dapat ditulis secara matematis dalam bentuk berikut.
AQ/AC =AB/AP
AQ =AB × AC/AP (kalikan pembilang dan penyebut dengan BC)
2rl= (BC × AB × AC)/(BC × AP)
2rl= (BC × AB × AC)/ (2 × 1/2 × BC × AP)
2rl = (BC × AB × AC)/(2 × Luas ΔABC)
rl= (a × b × c)/4 × Luas Δ ABC
Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)