PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Sistem persamaan linear dua variabel, atau sering disingkat sebagai SPLDV, seringkali digunakan untuk memecahkan permasalahan di sekitar kita. Sebelum kita mempelajari SPLDV, sebaiknya kita kenal dulu persamaan linear dua variabel. Perhatikan permasalahan berikut.

Anggita akan berencana membeli pensil dan bolpoin di suatu toko alat tulis. Ia berencana akan membeli total sebanyak 5 buah alat tulis. Berapa banyaknya masing-masing pensil dan bolpoin yang mungkin dibeli oleh Anggita?

Untuk mendaftar semua kemungkinannya, kita dapat menggunakan tabel seperti berikut.

Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut.

dengan p dan b secara berturut-turut merupakan banyaknya pensil dan bolpoin yang akan dibeli oleh Anggita.
Karena banyakanya pensil ditambah banyaknya bolpoin adalah 5 buah, maka banyaknya pensil sama dengan 5 dikurangi banyaknya bolpoin dan demikian juga banyaknya bolpoin sama dengan 5 dikurangi dengan banyaknya pensil. Atau dengan kata lain, persamaan p + b = 5 dapat juga dituliskan menjadi bentuk persamaan berikut.


Berikut ini beberapa contoh bentuk persamaan linear dua variabel lannya.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Setelah mengenal persamaan linear dua variabel, selanjutnya kita lanjutkan pembahasan kita ke SPLDV. Perhatikan permasalahan berikut.

Pergi ke Kantin
Pada saat jam istirahat sekolah, Ana dan Andika bersama-sama pergi ke kantin sekolah. Ana membeli 3 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00. Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00. Berapakah harga masing-masing pisang goreng dan donat per buahnya?

Misalkan x dan y secara berturut-turut merupakan harga satuan pisang goreng dan donat yang telah dibeli di kantin sekolah tersebut. Karena Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00, maka kalimat tersebut dapat dimodelkan ke dalam persamaan,

Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00, maka kalimat tersebut dapat dituliskan ke dalam persamaan,

Persamaan-persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 merupakan persamaan-persamaan yang berhubungan, karena kedua persamaan tersebut memiliki 2 variabel yang sama. Mudahnya, kedua persamaan tersebut dimodelkan dari transaksi Ana dan Andika ketika mereka berdua membeli dua makanan yang sama di kantin yang juga sama. Sehingga, transaksi yang dilakukan oleh Ana akan sesuai dengan transaksi yang dilakukan oleh Andika. Artinya, transaksi mereka berdua dipengaruhi oleh harga satuan pisang goreng dan donat pada kantin tersebut. Sehingga, kedua persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 disebut sebagai suatu sistem. Karena sistem tersebut terdiri dari persamaan-persamaan linear dua variabel, maka sistem tersebut disebut sistem persamaan linear dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Selanjutnya, dapatkah kita menentukan harga masing-masing pisang goreng dan donat yang telah dibeli oleh Ana dan Andika? Perhatikan bahwa banyaknya donat yang mereka beli adalah sama, yaitu 2 buah. Sedangkan banyaknya pisang goreng yang dibeli oleh Ana lebih sedikit 1 buah daripada yang dibeli oleh Andika. Karena Andika mengeluarkan uang Rp 4.000,00 untuk membeli semua makanan ringannya, sedangkan Ana mengeluarkan Rp 500,00 lebih sedikit daripada Andika, maka dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa harga pisang gorengnya adalah Rp 500,00 tiap buahnya.
Apabila harga pisang goreng tiap buahnya adalah Rp 500,00, maka selanjutnya kita dapat menentukan harga 1 buah donat dengan menggunakan transaksi Ana atau Andika. Kali ini kita akan menggunakan transaksi Ana untuk menentukan harga 1 donat.

Sehingga diperoleh harga satu donat adalah Rp 1.000,00. Apakah jawaban ini benar? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengujinya ke dalam permasalahan.
Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 3 × 500 + 2 × 1.000 = 1.500 + 2.000 = 3.500. Untuk kasus Ana, harga pisang goreng dan donat memenuhi. Selanjutnya kita uji juga ke dalam kasusnya Andika. Andika membeli 4 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 4 × 500 + 2 × 1.000 = 2.000 + 2.000 = 4.000. Harga satuan pisang goreng dan donat yang telah kita cari ternyata memenuhi kedua persamaan yang diberikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa x = 500 dan y = 1.000 merupakan selesaian dari SPLDV tersebut.
Catatan Selesaian dari SPLDV merupakan nilai dua variabel yang memenuhi kedua persamaan yang terdapat dalam SPLDV tersebut. Apabila nilai dua variabel tersebut hanya memenuhi salah satu persamaan saja, atau bahkan tidak memenuhi keduanya, maka nilai variabel-variabel tersebut bukanlah selesaian dari SPLDV tersebut.
Sebagai ilustrasi, x = 1.000 dan y = 250 memenuhi persamaan 3x + 2y = 3.500. Akan tetapi nilai tersebut tidak memenuhi persamaan kedua karena 4 × 1.000 + 2 × 250 = 4.500 ≠ 4.000. Sehingga x = 1.000 dan y = 250 bukan selesaian dari SPLDV yang terdiri dari persamaan-persamaan 3x + 2y = 3.500 dan 4x + 2y = 3.500